CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta), pero su segundo términos no es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo número (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados.

Ejemplo: 

            m⁴ + 6m² + 25

Para que m⁴ + 6m² + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m², pues 6m² + 4m² = 10m^2.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza la expresión, primero como un trinomio cuadrado perfecto y después, como una diferencia de cuadrados.

Ejemplo 1:

            a⁴ +    a² + 1

                +    a²       - a²

            a⁴ + 2a²+ 1 - a²

            (a⁴ + 2a²+ 1) - a²

            (a² + 1)2 - a²

             R: (a²+ a + 1) (a²– a + 1)

Ejemplo 2: 

            254 + 54a²b² + 49b⁴

                   + 16 a²b²             - 16 a²b^2­

            254 + 70a²b² + 49b⁴ - 16 a²b²­

            (254 + 70a²b² + 49b⁴) - 16 a²b²­

            (5a² + 7b)²- 16 a²b²

             R: (5a² + 7b² + 16 ab) (5a² + 7b2- 16 ab)

                 (5a² + 16ab +7b²) (5a² - 16 ab +7b²)

Ejemplo 3:

             81a⁴b8 - 292a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶

                          +     4 a²b⁴x⁸                  – 4 a²b⁴x⁸

            81a⁴b⁸ - 288a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶  – 4 a²b⁴x⁸

            (81a⁴b⁸ - 288a²b⁴x⁸ + 256x¹⁶)  – 4 a²b⁴x⁸

            (9a²b⁴ - 16x⁸)²  – 4 a²b⁴x⁸

             R: (9a²b⁴ - 16x⁸ + 2 ab²x⁴)  (9a²b⁴ - 16x⁸ –  2 ab²x⁴)  

                (9a²b⁴ + 2 ab²x⁴- 16x⁸)  (9a²b⁴ –  2 ab²x⁴ - 16x⁸)

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